Moment berechnen: Hebelarm, Vorzeichen, Varignon und Kräftepaar mit 5 Aufgaben und Rechner

Ein Radkreuz mit 40 Zentimetern Hebel und eine Radschraube, die 120 Newtonmeter braucht. Wer das Moment berechnen kann, weiß sofort: 300 Newton reichen, wenn wir senkrecht drücken. Ziehen wir schräg, braucht es mehr.

Unsere These: Die meisten merken sich „Kraft mal Abstand“. Dabei zählt nur der senkrechte Abstand zur Wirkungslinie, und genau der wird in Übungen am häufigsten falsch gemessen. Wir zeigen deshalb zwei Wege, ein Moment sicher zu bestimmen, und rechnen fünf eigene Aufgaben vor, vom Schraubenschlüssel bis zur Wippe.

Kurz erklärt

Wie lässt sich ein Moment berechnen?

Wir multiplizieren die Kraft mit ihrem Hebelarm. Eine Kraft von 300 N an 0,4 m Hebel ergibt 120 Nm. Die Einheit ist Newtonmeter, in der Statik oft kNm. Im Maschinenbau heißt dieselbe Größe meist Drehmoment, etwa beim Motor oder beim Drehmomentschlüssel.

Ein Moment hängt immer an einem Bezugspunkt. Dieselbe Kraft hat um die Schraube ein anderes Moment als um den Griff. Wer ein Moment berechnen will, schreibt deshalb zuerst hin, um welchen Punkt es geht. Kräfte selbst haben wir im Artikel Die Kraft als Vektor erklärt.

Der Hebelarm steht immer senkrecht

Der Hebelarm ist der kürzeste Abstand vom Bezugspunkt zur Wirkungslinie, also zur gedachten Verlängerung der Kraft. Er steht senkrecht auf ihr. Der Abstand zum Angriffspunkt ist nur dann gleich, wenn die Kraft senkrecht zum Hebel wirkt. Wer am Schraubenschlüssel das Moment berechnen will, misst also nicht einfach bis zur Hand.

Ziehen wir am Schlüssel unter 60° statt 90°, schrumpft der wirksame Hebelarm auf a · sin 60° = 34,6 cm. Dieselbe Hand muss dann 346 N statt 300 N aufbringen. Die Tabelle zeigt den Hebeleffekt: Doppelt so langer Hebel, halbe Kraft.

Welches Vorzeichen hat ein Moment?

Ein Moment kann links oder rechts herum drehen. In der Technischen Mechanik legen wir meist fest: gegen den Uhrzeigersinn positiv, linksdrehend genannt. Im Uhrzeigersinn ist es dann negativ. Welche Richtung wir positiv nennen, ist egal. Wichtig ist, dass sie für die ganze Aufgabe gilt. Ein kleiner Drehpfeil neben dem Achsenkreuz in jeder Skizze hilft.

Ehrlich gesagt verlieren wir die meisten Punkte nicht an der Multiplikation. Sie gehen verloren, weil in einer Zeile links herum positiv ist und zwei Zeilen später rechts herum.

Ohne Hebelarm rechnen mit Varignon

Bei schrägen Kräften ist der Hebelarm mühsam zu finden. Einfacher lässt sich das Moment berechnen mit Komponenten. Das Moment einer Kraft ist gleich der Summe der Momente ihrer Komponenten. Dieser Satz geht auf den Franzosen Pierre Varignon zurück, der von 1654 bis 1722 lebte und 1687 ein Buch über eine neue Mechanik veröffentlichte (MacTutor, Universität St Andrews).

Dabei sind x und y die Koordinaten des Angriffspunkts relativ zum Bezugspunkt. Das Vorzeichen kommt automatisch richtig heraus, linksdrehend positiv. Die Komponenten zerlegen wir wie im zentralen Kräftesystem: F_x = F · cos α und F_y = F · sin α.

Das Kräftepaar dreht nur

Zwei gleich große, entgegengesetzte Kräfte auf parallelen Wirkungslinien heißen Kräftepaar. Ihre Summe ist null, der Körper wird also nicht verschoben. Trotzdem dreht er sich. Das Moment ist M = F · d, mit d als Abstand der beiden Wirkungslinien.

Das Besondere: Beim Kräftepaar können wir das Moment berechnen, ohne einen Bezugspunkt festzulegen. Es ist um jeden Punkt gleich groß. Deshalb dürfen wir es in der Ebene beliebig verschieben. Ein Beispiel aus dem Alltag ist das Lenkrad, an dem beide Hände gegenläufig drücken.

Der Momentensatz findet die Resultierende

Wirken mehrere parallele Kräfte, ersetzen wir sie durch eine Resultierende R. Ihren Betrag liefert die Summe der Kräfte. Ihre Lage liefert der Momentensatz: Das Moment der Resultierenden ist gleich der Summe der Einzelmomente. So verwenden wir ihn im allgemeinen ebenen Kräftesystem. Mit derselben Idee lässt sich auch ein Schwerpunkt berechnen, dort mit Gewichtskräften oder Flächen.

Fünf Aufgaben zum Moment berechnen

Alle Zahlen sind ausgedacht und in Python nachgerechnet. Nehmen wir Jorin, 23, ebenfalls ausgedacht. Er wechselt im November die Reifen und lernt nebenbei für die Statik-Klausur. Für Gewichtskräfte nehmen wir g = 9,81 m/s².

Aufgabe 1, die Radschraube

Jorins Bordbuch nennt 120 Nm für die Radschrauben, laut Auto Bild liegen viele Pkw bei 110 bis 130 Nm (Stand 08.10.2026). Sein Radkreuz hat 40 cm Hebel. Welche Kraft braucht er senkrecht, welche unter 60°?

300 N entsprechen dem Gewicht von 30,6 kg. Den genauen Wert setzt am Ende trotzdem ein Drehmomentschlüssel, nicht das Gefühl. Mehr zum Reifenwechsel steht unter Winterreifenpflicht.

Aufgabe 2, die Wippe

Jorins Nichte, 30 kg, sitzt 1,80 m vom Drehpunkt einer Wippe. Jorin wiegt 75 kg. Wo muss er sitzen, damit die Wippe waagerecht bleibt?

g kürzt sich heraus. Beide Momente betragen 529,7 Nm, das linke dreht links herum, das rechte rechts herum.

Aufgabe 3, eine schräge Kraft im Koordinatensystem

F = 5 kN greift im Punkt (2 m | 1 m) an und zeigt unter 30° zur x-Achse nach rechts oben. Gesucht ist das Moment um den Ursprung.

Positiv, also linksdrehend. Der Hebelarm ergibt sich rückwärts: h = 0,67 / 5 = 0,134 m. Der Angriffspunkt liegt 2,24 m entfernt, die Wirkungslinie führt aber fast durch den Ursprung. Wer hier „Kraft mal Abstand“ rechnet, landet bei 11,2 kNm.

Aufgabe 4, das Kräftepaar

Zwei Kräfte von je 200 N wirken gegenläufig im Abstand von 25 cm. Wir prüfen das Moment um einen Punkt auf der ersten Kraft und um einen Punkt 1 m daneben.

Beide Male 50 Nm. Genau das macht ein Kräftepaar aus.

Aufgabe 5, drei Kräfte an einem Balken

An einem Balken wirken bei 1 m 4 kN nach unten, bei 3 m 2 kN nach oben und bei 5 m 3 kN nach unten. Wie groß ist das Moment um A bei x = 0, und wo sitzt die Resultierende?

Das Minus heißt rechtsdrehend. Die Resultierende sitzt bei 2,6 m. Genau diesen Schritt brauchen wir später, wenn wir Lagerkräfte bestimmen.

Rechner: Moment berechnen für mehrere Kräfte

Der Rechner nutzt die Formel von Varignon. Er zeigt für jede Kraft den Hebelarm und das Moment, dazu die Summe. Startwerte sind Aufgabe 3. Für Aufgabe 5 tragen wir 270° für nach unten und 90° für nach oben ein.

Wer den Winkel von F1 auf 26,6° stellt, sieht das Moment fast auf null fallen. Dann zeigt die Wirkungslinie genau durch den Ursprung.

Typische Fehler beim Moment berechnen

Den Abstand zum Angriffspunkt nehmen

Wie Aufgabe 3 zeigt, kann das um den Faktor 17 danebenliegen. Entweder den senkrechten Abstand zur Wirkungslinie suchen oder mit Komponenten rechnen.

Den Drehsinn mitten in der Aufgabe wechseln

Einmal festlegen, in die Skizze zeichnen, dabei bleiben. Bei Varignon passt das Vorzeichen automatisch, wenn x und y relativ zum Bezugspunkt stehen.

Das Kräftepaar als Kraft behandeln

Ein Kräftepaar taucht in ΣF_x und ΣF_y nicht auf, nur in ΣM. Wer es in die Kraftsumme schreibt, rechnet doppelt.

Merksatz

Heute Abend: Aufgabe 3 auf Papier rechnen, dann den Bezugspunkt im Rechner auf (1 | 0) setzen und vorher schätzen, ob das Moment größer oder kleiner wird. Danach einen echten Schraubenschlüssel in die Hand nehmen und die Länge messen.

Selbsttest

Wer fünf von sieben Fragen richtig hat, kann das Moment berechnen, ohne nachzuschlagen.

Weiterlesen und Quellen

• Lagerreaktionen berechnen: Festlager, Loslager und Einspannung
• Technische Mechanik: die Teilgebiete im Überblick
• Die Kraft als Vektor und die Kraftarten
• Die Axiome der Statik
• Zentrales Kräftesystem
• Allgemeines ebenes Kräftesystem
• Schwerpunkt berechnen
• Drehmoment (Wikipedia)

Quellen (geprüft am 09.11.2026): Auto Bild, Radschrauben und Radmuttern nachziehen, 08.10.2026 (110 bis 130 Nm bei vielen Pkw, genauer Wert laut Betriebsanleitung); MacTutor History of Mathematics, Universität St Andrews, Biografie Pierre Varignon (Lebensdaten, Projet d’une nouvelle méchanique 1687); Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1, Statik, Springer Vieweg (Moment, Kräftepaar, Momentensatz). Alle Aufgaben sind eigene Beispiele, in Python nachgerechnet.