Schnittgrößen berechnen: Normalkraft, Querkraft und Biegemoment am Balken mit 4 Aufgaben und Rechner
Wo bricht ein überladenes Regalbrett? Die meisten tippen auf die Mitte, und oft stimmt das. Mit den Schnittgrößen lässt sich aber genau sagen, wo das größte Biegemoment sitzt, auch wenn die Last schief verteilt ist.
Unsere These: Viele berechnen den Momentenverlauf Punkt für Punkt und verlieren dabei Zeit. Dabei verrät der Querkraftverlauf fast alles. Wo die Querkraft das Vorzeichen wechselt, liegt das Maximalmoment. Wir klären Schnittprinzip und Vorzeichen, dann rechnen wir vier eigene Aufgaben vor, und ein Rechner zeichnet beide Verläufe.
- Kurz erklärt
- Was zeigt ein Schnitt durch den Balken?
- Welche Vorzeichen gelten für Schnittgrößen?
- Schnittgrößen berechnen in fünf Schritten
- Warum dM/dx = Q das Zeichnen abkürzt
- Vier Aufgaben zu Schnittgrößen mit Lösung
- Rechner für Querkraft und Biegemoment
- Typische Fehler
- Merksatz
- Selbsttest
- Weiterlesen und Quellen
Kurz erklärt
Schnittgrößen sind die inneren Kräfte in einem Bauteil. Am ebenen Balken sind es drei: Normalkraft N längs der Achse, Querkraft Q quer dazu und Biegemoment M. Wir bekommen sie nach dem Schnittprinzip: Balken gedanklich durchschneiden, ein Teilstück ins Gleichgewicht setzen. Es gilt dM/dx = Q, also liegt das größte Moment dort, wo Q null wird oder springt.
Was zeigt ein Schnitt durch den Balken?
Ein Schnitt macht innere Kräfte sichtbar. Solange der Balken ganz ist, halten sich seine Teile gegenseitig. Schneiden wir ihn an der Stelle x durch, müssen wir an beiden Schnittflächen die Kräfte anbringen, die vorher innen gewirkt haben. Das sind die Schnittgrößen.
Das Schnittprinzip ist dasselbe Freischneiden wie bei den Lagern, nur mitten im Bauteil. An beiden Ufern wirken N, Q und M gleich groß und entgegengesetzt. Das ist das Wechselwirkungsgesetz aus den Axiomen der Statik. Welches Teilstück wir betrachten, ist egal. Wir nehmen das, an dem weniger Kräfte hängen.
Welche Vorzeichen gelten für Schnittgrößen?
Ohne feste Vorzeichen kann jeder ein anderes Ergebnis bekommen. Üblich ist: x nach rechts, z nach unten. Am positiven Schnittufer werden positive Schnittgrößen in positiver Koordinatenrichtung eingetragen, am negativen Ufer in negativer (Skript Mechanik IA, Montanuniversität Leoben).
| Größe | positiv, wenn | Merkhilfe |
|---|---|---|
| Normalkraft N | sie aus der Schnittfläche herauszieht | Zug positiv, Druck negativ |
| Querkraft Q | sie am positiven Ufer nach unten zeigt | eine Lagerkraft nach oben links vom Schnitt macht Q positiv |
| Biegemoment M | die Unterseite auf Zug kommt | der Balken hängt durch wie eine Hängematte |
Die Unterseite markieren viele mit einer gestrichelten Linie, der gestrichelten Faser. Ehrlich gesagt sorgt nichts in Übungen für mehr Chaos als gemischte Konventionen. Wer im Skript eine andere findet, nimmt die des Skripts und bleibt dabei.
Schnittgrößen berechnen in fünf Schritten
Am Balken brauchen wir zuerst die Lagerkräfte, dann teilen wir den Balken in Bereiche. Ein neuer Bereich beginnt überall, wo sich die Belastung ändert, also an Einzellasten, Lagern und am Anfang oder Ende einer Streckenlast.
| Schritt | Was wir tun |
|---|---|
| 1 | Lagerreaktionen bestimmen, wie in Lagerreaktionen berechnen |
| 2 | Bereiche festlegen, Grenzen an jeder Laständerung |
| 3 | In jedem Bereich an der Stelle x schneiden, N, Q, M positiv eintragen |
| 4 | ΣFx, ΣFz und ΣM um die Schnittstelle am Teilstück aufstellen |
| 5 | Verläufe zeichnen, Sprünge und Nullstellen markieren, Maximalmoment ablesen |
Schritt 4 ist reine Momentenrechnung mit Hebelarmen, mehr dazu unter Moment berechnen. Als Bezugspunkt nehmen wir die Schnittstelle selbst. Dort haben N und Q keinen Hebelarm.
Warum dM/dx = Q das Zeichnen abkürzt
Belastung, Querkraft und Biegemoment hängen über Ableitungen zusammen. Die Streckenlast ist die negative Steigung der Querkraft, die Querkraft ist die Steigung des Moments. Damit lassen sich beide Verläufe skizzieren, fast ohne zu rechnen.
Daraus folgen vier Regeln. Ohne Streckenlast ist Q konstant und M eine Gerade. Unter einer konstanten Streckenlast fällt Q linear, M wird eine Parabel. An einer Einzellast springt Q um genau den Lastbetrag, M bekommt einen Knick. Und wo Q durch null geht oder sein Vorzeichen springend wechselt, hat M sein Maximum (Arbeitsblatt Uni Siegen, Baustatik).
Ein Nebeneffekt: Die Fläche unter dem Q-Verlauf zwischen zwei Stellen ist genau die Änderung von M. Damit haben wir eine eingebaute Probe.
Vier Aufgaben zu Schnittgrößen mit Lösung
Alle Aufgaben sind ausgedacht und in Python nachgerechnet. Nehmen wir Talea, 22, Bauingenieurwesen im zweiten Semester, ebenfalls ausgedacht. Sie rechnet die Aufgaben vor der Übung allein und prüft dann mit dem Rechner.
Aufgabe 1, Einfeldträger mit Einzellast
Ein Träger mit 6 m Spannweite, Festlager A links, Loslager B rechts. Eine Einzellast F = 15 kN wirkt 2 m von A. Die Lagerkräfte sind A = 15 · 4 / 6 = 10 kN und B = 5 kN.
Probe über die Fläche: Unter Q liegen bis x = 2 genau 10 · 2 = 20 kNm, danach −5 · 4 = −20 kNm. Am Lager B ist M wieder null, wie es sein muss.
Aufgabe 2, eine Streckenlast über die ganze Länge
Ein Träger mit 5 m trägt q = 4 kN/m, etwa eine gleichmäßig verteilte Schneelast. Aus Symmetrie folgt A = B = 4 · 5 / 2 = 10 kN.
Das ist die bekannte Formel q · l² / 8 = 4 · 25 / 8 = 12,5 kNm. Zur Kontrolle bei x = 1 m: M = 10 − 2 = 8 kNm.
Aufgabe 3, Streckenlast und Einzellast zusammen
6 m Spannweite, q = 2 kN/m über die ganze Länge und F = 12 kN bei x = 4 m. ΣM um B ergibt A · 6 = 12 · 3 + 12 · 2, also A = 10 kN und B = 14 kN.
Hier wird Q nirgends stetig null. Es springt bei x = 4 von +2 auf −10 kN. Das Maximalmoment sitzt also unter der Einzellast, nicht in der Mitte. Genau hier rechnen viele M(3) aus und liegen mit 21 kNm daneben.
Aufgabe 4, Kragarm mit Normalkraft
Ein Kragarm ragt 3 m aus der Wand. Am freien Ende zieht eine Last mit 5 kN nach unten und ein Seil mit 4 kN waagerecht nach außen. Wir schneiden bei x und betrachten das rechte Teilstück, an dem keine Lagerkräfte hängen.
Das Minus heißt: Die Oberseite wird gezogen. Der Kragarm biegt sich nach unten, das größte Moment sitzt an der Einspannung.
Rechner für Querkraft und Biegemoment
Der Rechner arbeitet am Einfeldträger mit einer Einzellast und einer Streckenlast. Er zeichnet Querkraft und Biegemoment und markiert das Maximalmoment. Startwerte sind die aus Aufgabe 3.
Festlager A bei x = 0, Loslager B bei x = l. Lasten nach unten positiv. Startwerte: Aufgabe 3.
| Querkraft direkt rechts von A | |
| Querkraft direkt links von B | |
| Sprung der Querkraft unter F | |
| Stelle mit Q = 0 (falls vorhanden) | |
| Probe: M am Lager B |
Ebene Statik, x nach rechts, z nach unten. Q positiv nach unten am positiven Schnittufer, M positiv bei Zug unten und nach unten aufgetragen. Lernhilfe, keine Bemessung.
Wer die Einzellast auf null setzt und die Streckenlast über die ganze Länge zieht, sieht die Parabel aus Aufgabe 2.
Statik mit Freischnitt und Probe üben
Vor Q- und M-Verlauf kommen immer die Lagerkräfte, und dort passieren die meisten Folgefehler. Das Übungsheft „Statik verstehen“ rechnet 29 Aufgaben komplett vor, jeweils mit Freischnitt und Probe, dazu ein Excel-Rechner für Lagerkräfte. 9,99 Euro als PDF.
Typische Fehler beim Schnittgrößen berechnen
Die Resultierende der ganzen Streckenlast einsetzen
Für die Lagerkräfte ist die Resultierende richtig. Für M(x) zählt nur der Teil der Streckenlast links vom Schnitt, mit Hebelarm bis zu dessen Mitte.
Am negativen Schnittufer die Richtungen nicht umdrehen
Wer das rechte Teilstück betrachtet, trägt Q nach oben und N nach links ein. Sonst stimmt jedes zweite Vorzeichen nicht.
Das Maximalmoment nur bei Q = 0 suchen
Springt Q über null hinweg, wie in Aufgabe 3, liegt das Maximum am Sprung. Beim Kragarm liegt es an der Einspannung.
Merksatz
Schnittgrößen findet man durch Schneiden und Gleichgewicht am Teilstück: N zieht, Q schert, M biegt. Es gilt dQ/dx = −q und dM/dx = Q. Einzellast heißt Sprung in Q und Knick in M, Streckenlast heißt Gerade in Q und Parabel in M. Das Maximalmoment liegt, wo Q null wird oder sein Vorzeichen springend wechselt.
Heute Abend: Aufgabe 3 ohne Vorlage rechnen, Q- und M-Verlauf von Hand skizzieren und dann mit dem Rechner vergleichen. Danach F auf x = 2 m schieben und vorher schätzen, wohin Mmax wandert.
Selbsttest
Wer fünf von sieben Fragen schafft, ist für die Übung bereit.
Weiterlesen und Quellen
- Lagerreaktionen berechnen
- Moment berechnen
- Die Axiome der Statik
- Schwerpunkt berechnen
- Technische Mechanik: die Teilgebiete im Überblick
- Schnittgröße (Wikipedia)
- Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittgrößen (Uni Siegen, PDF)
Quellen (geprüft am 10.11.2026): Universität Siegen, Baustatik, Arbeitsblatt „Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittgrößen“ (dQ/dx = −q, dM/dx = Q, Sprung und Knick); Montanuniversität Leoben, Skriptum Mechanik IA, Kapitel 5 „Schnittgrößen“ (Schnittufer, Vorzeichen); Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1, Statik, Springer Vieweg. Eigene Aufgaben, in Python nachgerechnet. Lernhilfe, keine Bemessung.
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