Fachwerk berechnen: Nullstäbe, Knotenpunktverfahren und Ritterschnitt mit 4 Aufgaben und Rechner
„Sieben Stäbe, wie viele Gleichungen brauche ich?“, fragt Elske. „Zehn“, sagt der Tutor, „und die hast du schon.“ Wer ein Fachwerk berechnen will, bekommt an jedem Knoten genau zwei Gleichungen geschenkt.
Unsere These: Die meisten fangen beim Fachwerk berechnen zu früh mit dem Rechnen an. Wer zuerst die Bestimmtheit prüft und die Nullstäbe streicht, spart sich oft mehrere Gleichungen und die meisten Vorzeichenfehler. Wir gehen das in genau dieser Reihenfolge durch, mit vier eigenen Aufgaben und einem Rechner für eine kleine Brücke.
Kurz erklärt
Ein ideales Fachwerk besteht aus geraden Stäben, die in reibungsfreien Gelenken verbunden sind. Lasten greifen nur in den Knoten an. Jeder Stab trägt deshalb nur eine Längskraft, Zug oder Druck. Um ein Fachwerk berechnen zu können, zählen wir zuerst. Statisch bestimmt ist es bei s + r = 2k, mit drei Lagerreaktionen bei s = 2k − 3. Die Stabkräfte finden wir mit dem Knotenpunktverfahren oder dem Ritterschnitt.
Was ein ideales Fachwerk voraussetzt
Ein ideales Fachwerk ist ein Modell, in dem jeder Stab nur ziehen oder drücken kann. Dafür gelten vier Annahmen, so auch im Skriptum Mechanik IA der Montanuniversität Leoben.
Die Stäbe sind gerade und reibungsfrei gelenkig verbunden, ihre Achsen treffen sich in einem Punkt. Kräfte greifen nur in den Knoten an, das Eigengewicht lassen wir weg. Echte Kranausleger und Dachbinder sind verschraubt oder verschweißt. Für schlanke Stäbe liefert das Modell trotzdem brauchbare Stabkräfte.
Weil jeder Stab nur eine Kraft entlang seiner Achse überträgt, ist jeder Knoten ein kleines zentrales Kräftesystem. Alle Kräfte gehen durch einen Punkt. Pro Knoten bleiben zwei Gleichungen: ΣFx = 0 und ΣFy = 0.
Ist das Fachwerk statisch bestimmt?
Mit k Knoten haben wir 2k Gleichungen. Unbekannt sind s Stabkräfte und r Lagerreaktionen. Passt beides zusammen, ist das Fachwerk statisch bestimmt.
Unsere Brücke aus Aufgabe 3 hat 5 Knoten und 7 Stäbe: 7 + 3 = 10 = 2 · 5. Passt. Ist s + r größer, ist das Fachwerk statisch unbestimmt, wir bräuchten Verformungen. Ist es kleiner, ist es beweglich und klappt zusammen.
Die Zählung ist nur notwendig
Ein Fachwerk kann die Formel erfüllen und trotzdem wackeln, etwa wenn ein Feld keine Diagonale hat und ein anderes zwei. Sicher ist der Aufbau aus Dreiecken: Jeder neue Knoten hängt mit genau zwei Stäben am Rest. Das Arbeitsblatt „Aufbau eines Fachwerks“ der Universität Siegen nennt das erste Bildungsgesetz.
Drei Regeln für Nullstäbe
Ein Nullstab trägt unter der gegebenen Last keine Kraft. Bei anderen Lasten trägt er mit, deshalb bleibt er im Bauwerk. Wer ein Fachwerk berechnen muss, streicht ihn aber sofort aus der Rechnung.
Regel 1: Ein unbelasteter Knoten mit zwei Stäben, die nicht auf einer Linie liegen. Beide Stäbe sind Nullstäbe. Regel 2: Ein Knoten mit zwei Stäben, an dem die Last genau in Richtung eines Stabs zeigt. Der andere Stab ist ein Nullstab. Regel 3: Ein unbelasteter Knoten mit drei Stäben, zwei davon auf einer Linie. Der dritte ist ein Nullstab.
Eine Lagerkraft zählt dabei wie eine äußere Last. Das wird leicht übersehen, dabei steckt genau dort oft ein Nullstab.
Zugstab oder Druckstab, das Vorzeichen
Beim Fachwerk berechnen nehmen wir jede Stabkraft zunächst als Zug an. Am Knoten zeigt sie dann vom Knoten weg in den Stab hinein. Kommt ein positiver Wert heraus, ist es ein Zugstab. Ein negativer Wert heißt Druckstab.
Das ist dieselbe Logik wie bei den Lagerreaktionen: positiv annehmen, Vorzeichen deuten. Ehrlich gesagt lohnt sich Raten nicht: Wer an jedem Knoten anders rät, verliert beim nächsten den Überblick.
Fachwerk berechnen an vier Aufgaben
Alle Aufgaben sind eigene Beispiele und in Python nachgerechnet. Festlager links, Loslager rechts, Lasten in kN, Zug positiv.
Aufgabe 1, das einfachste Fachwerk
Drei Knoten: A bei (0 | 0), B bei (4 | 0), C bei (2 | 1,5). Drei Stäbe, s = 2 · 3 − 3 = 3. An C hängen 12 kN. Die schrägen Stäbe sind 2,5 m lang, sin α = 0,6 und cos α = 0,8.
Die Schrägen drücken mit 10 kN, der Untergurt zieht mit 8 kN. Kontrolle an Knoten A in y: 6 + 0,6 · (−10) = 0.
Aufgabe 2, Bestimmtheit und Nullstäbe
Ein Fachwerk aus zwei quadratischen Feldern, je 2 m, unten die Knoten 1, 2, 3, oben 4, 5, 6. Neun Stäbe: zwei Untergurte, zwei Obergurte, drei Pfosten und die Diagonalen 1-5 und 2-6. Festlager in 1, Loslager in 3, 9 kN an Knoten 5.
Knoten 4 ist unbelastet und hat nur die Stäbe 1-4 und 4-5. Regel 1: beide Nullstäbe. Am Knoten 3 hängen Stab 2-3, Pfosten 3-6 und die senkrechte Lagerkraft. Die Lagerkraft liegt in Richtung des Pfostens, also ist 2-3 nach Regel 2 ein Nullstab. Drei von neun Stäben fallen weg, bevor wir rechnen. Python bestätigt genau diese drei.
Aufgabe 3, das Knotenpunktverfahren an der Brücke
Unten liegen A (0 | 0), D (3 | 0) und B (6 | 0), oben C (1,5 | 2) und E (4,5 | 2). Alle Schrägen sind 2,5 m lang. An D hängen 12 kN. Das Knotenpunktverfahren beginnt an einem Knoten mit höchstens zwei unbekannten Stabkräften.
Aus Symmetrie folgen SDE = 7,5 kN, SEB = −7,5 kN und SDB = 4,5 kN. Der Obergurt drückt mit 9 kN, bei einer flacheren Brücke wären es mehr.
Aufgabe 4, der Ritterschnitt für einen einzelnen Stab
Jetzt hängen an D 12 kN und an C 6 kN. Gesucht ist nur der Obergurt CE. Der Ritterschnitt trennt das Fachwerk mit einem Schnitt durch höchstens drei Stäbe, deren Wirkungslinien sich nicht in einem Punkt schneiden. Wir schneiden durch CE, CD und AD.
So lässt sich ein Fachwerk berechnen, ohne vorher einen einzigen Knoten zu lösen. Elske prüft die Werte mit dem Rechner.
Rechner: Fachwerk berechnen mit eigenen Lasten
Mit dem Rechner lässt sich die Brücke aus Aufgabe 3 und 4 mit eigenen Lasten und eigener Höhe berechnen. Er löst alle zehn Knotengleichungen zugleich. Ein zweiter Teil prüft die Bestimmtheit eines beliebigen Fachwerks.
Untergurt A, D, B mit 6 m Spannweite, Obergurt C und E. Festlager A, Loslager B. Lasten nach unten positiv. Startwerte: Aufgabe 4.
| Stab | Stabkraft | Art |
|---|
Ideales ebenes Fachwerk, Zug positiv. Lernhilfe, keine Bemessung. Eingaben bleiben im Browser.
Bei 1 m statt 2 m Höhe wachsen die Gurtkräfte deutlich.
29 Statik-Aufgaben zum Mitrechnen
Wer ein Fachwerk berechnen will, braucht zuerst saubere Lagerkräfte. Das Übungsheft „Statik verstehen“ rechnet 29 Aufgaben komplett vor, mit Freischnitt und Probe, dazu ein Excel-Rechner für Lagerkräfte. 9,99 Euro als PDF.
Typische Fehler beim Fachwerk berechnen
Die Stabkraft am zweiten Knoten umdrehen
Ein Zugstab zieht an beiden Enden vom Knoten weg. Wer die Richtung am zweiten Knoten nicht umdreht, bekommt ein falsches Vorzeichen.
Beim Ritterschnitt vier Stäbe schneiden
Drei Gleichungen lösen höchstens drei Unbekannte. Vier unbekannte Stäbe im Schnitt führen ins Leere.
Die Lagerkraft bei den Nullstab-Regeln vergessen
Am Lagerknoten wirkt eine äußere Kraft. In Aufgabe 2 macht genau sie den Untergurt 2-3 zum Nullstab.
Merksatz
Fachwerk berechnen in dieser Reihenfolge: zählen, Nullstäbe streichen, Lagerkräfte, dann Knoten oder Ritterschnitt. Statisch bestimmt bei s + r = 2k. Jede Stabkraft als Zug annehmen, ein Minus heißt Druckstab.
Heute Abend: Aufgabe 4 für den Stab DE mit einem Schnitt durch CE, DE und DB lösen. Ergebnis 9,375 kN Zug, dann im Rechner prüfen.
Selbsttest
Wer fünf von sieben Fragen schafft, kann ein Fachwerk berechnen, ohne nachzuschlagen.
Weiterlesen und Quellen
- Lagerreaktionen berechnen
- Zentrales Kräftesystem
- Allgemeines ebenes Kräftesystem
- Moment berechnen
- Skriptum Fachwerke, Montanuniversität Leoben (PDF)
- Technische Mechanik (Wikipedia)
Quellen (geprüft am 10.11.2026): Montanuniversität Leoben, Mechanik IA, Kapitel Fachwerke (ideale Annahmen, s + z = 2k, Nullstab-Regeln, Rittersches Schnittverfahren); Universität Siegen, Lehrstuhl für Baustatik, Arbeitsblatt „Aufbau eines Fachwerks“ (Bildungsgesetz, p = 2k − 3); Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1, Statik, Springer Vieweg, Kapitel Fachwerke. Alle Aufgaben sind eigene Beispiele, in Python nachgerechnet. Lernhilfe, keine Bemessung.
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