Streckenlast: Resultierende und Angriffspunkt bei Rechteck, Dreieck und Trapez mit 5 Aufgaben
Ein Regalbrett, 1,20 m lang, voll mit Ordnern. Rund 36 Kilo, verteilt auf jeden Zentimeter. Genau das ist eine Streckenlast: Kraft pro Meter statt Kraft an einem Punkt.
Unsere These: Die meisten rechnen die Größe einer Streckenlast richtig aus und setzen sie dann an der falschen Stelle an. Bei Dreieck und Trapez kostet das die ganze Aufgabe. Wir zeigen, warum die Resultierende immer die Fläche ist und wo sie sitzt, rechnen fünf eigene Aufgaben durch und prüfen alles mit einem Rechner.
- Kurz erklärt
- Was eine Streckenlast im Alltag ist
- Warum die Resultierende einfach die Fläche ist
- Rechteck, Dreieckslast und Trapezlast im Vergleich
- Lagerkräfte mit Streckenlast in drei Schritten
- Fünf Aufgaben zur Streckenlast mit Lösung
- Streckenlast-Rechner
- Typische Fehler
- Merksatz
- Selbsttest
- Weiterlesen und Quellen
Kurz erklärt
Eine Streckenlast q verteilt eine Kraft über eine Länge, Einheit kN/m. Für die Lagerkräfte ersetzen wir sie durch eine Einzelkraft, die Resultierende. Ihr Betrag ist die Fläche unter der Lastkurve, ihr Angriffspunkt liegt im Schwerpunkt dieser Fläche. Rechteck: in der Mitte. Dreieck: bei zwei Dritteln, vom spitzen Ende aus gemessen.
Was eine Streckenlast im Alltag ist
Eine Streckenlast ist eine Kraft, die über eine Strecke verteilt angreift. Wir geben sie als q in kN/m an. Typisch sind Eigengewicht, Schnee auf einem Dachbalken oder Wasserdruck an einer Wand.
Ist q überall gleich, heißt sie konstant oder Gleichstreckenlast. Wächst sie linear von null an, entsteht eine Dreieckslast. Wasser drückt so auf eine Staumauer: oben fast nichts, unten am meisten. Beginnt sie nicht bei null, haben wir eine Trapezlast.
Im Artikel über Lagerreaktionen berechnen tauchte sie nur kurz auf. Hier bekommt sie den ganzen Platz.
Warum die Resultierende einfach die Fläche ist
Die Resultierende ist die Summe aller kleinen Kräfte q · dx. Diese Summe ist ein Integral, also eine Fläche. Für jede Form gilt deshalb: Betrag gleich Fläche der Lastfigur.
Die zweite Zeile sagt, wo R angreift: Ihr Moment muss so groß sein wie das aller kleinen Kräfte zusammen. Das ist dieselbe Formel wie beim Schwerpunkt berechnen, nur mit q statt Fläche. Die Resultierende sitzt also im Schwerpunkt der Lastfläche.
Ehrlich gesagt integrieren wir in der Klausur selten. Für Rechteck, Dreieck und Trapez gibt es fertige Werte, das Integral braucht es erst bei Parabeln. In Aufgabe 5 rechnen wir es trotzdem einmal vor.
Rechteck, Dreieckslast und Trapezlast im Vergleich
Für die drei häufigsten Formen reicht eine Tabelle. Die Länge der Last heißt a, der Angriffspunkt zählt vom linken Lastende.
| Form | Resultierende R | Angriffspunkt ab linkem Lastende |
|---|---|---|
| Rechteck, q konstant | q · a | a / 2 |
| Dreieck, steigend von 0 auf q | q · a / 2 | 2a / 3 |
| Dreieck, fallend von q auf 0 | q · a / 2 | a / 3 |
| Trapez, von q1 auf q2 | (q1 + q2) · a / 2 | a · (q1 + 2q2) / (3 · (q1 + q2)) |
Die Dreieckslast merken wir uns so: Die Resultierende rutscht zur hohen Seite. Sie liegt ein Drittel der Länge vom hohen Ende entfernt. Die Trapezlast zerlegen wir in Rechteck und Dreieck, dann braucht es die lange Formel nicht.
Lagerkräfte mit Streckenlast in drei Schritten
Lagerkräfte mit Streckenlast rechnen wir wie mit Einzellasten. Nur ersetzen wir vorher jede verteilte Last durch ihre Resultierende am richtigen Ort.
Erst R und xR bestimmen. Dann den Freischnitt mit R statt der verteilten Last zeichnen. Dann ΣM um das Festlager, ΣFy und eine Probe um das zweite Lager. Wie der Hebelarm einer Kraft zustande kommt, steht im Artikel Moment berechnen.
Eine Grenze hat der Trick
Die Resultierende gilt nur für das Gleichgewicht des ganzen Körpers. Für Schnittgrößen mitten in der Last zählt nur der Lastteil auf einer Seite des Schnitts.
Fünf Aufgaben zur Streckenlast mit Lösung
Alle Aufgaben sind ausgedacht und in Python nachgerechnet. Festlager A sitzt links bei x = 0, Loslager B rechts. Nehmen wir Tamme, 21, Maschinenbau im dritten Semester, ebenfalls ausgedacht.
Aufgabe 1, das Regalbrett
Das Brett aus dem Einstieg liegt an beiden Enden auf, Spannweite 1,2 m. Die Ordner ergeben q = 0,3 kN/m über die ganze Länge.
0,36 kN sind bei g = 9,81 m/s² etwa 36,7 kg.
Aufgabe 2, die Dreieckslast auf dem Einfeldträger
Ein Einfeldträger mit 6 m Spannweite trägt eine Dreieckslast. Sie steigt von 0 bei A auf 4 kN/m bei B.
Probe um B: −4 · 6 + 12 · 2 = 0. Wer R in die Mitte setzt, bekommt falsche 6 kN und 6 kN.
Aufgabe 3, die Trapezlast zerlegt
Ein Träger mit 4 m Spannweite trägt eine Trapezlast von q1 = 2 kN/m bei A auf q2 = 5 kN/m bei B. Wir zerlegen sie in ein Rechteck mit 2 kN/m und ein Dreieck mit 3 kN/m Höhe.
Zur Kontrolle die Tabellenformel: xR = 4 · (2 + 10) / (3 · 7) = 2,29 m. Die gesamte Resultierende liegt 29 cm neben der Trägermitte.
Aufgabe 4, die Streckenlast nur auf einem Teilstück
Ein 8 m langer Einfeldträger trägt q = 2,5 kN/m nur zwischen x = 3 m und x = 7 m.
Probe um B: −3,75 · 8 + 10 · 3 = 0. Tamme hatte zuerst 2 m als Hebelarm genommen und kam auf By = 2,5 kN.
Aufgabe 5, der Kragarm mit Integration
Ein Kragarm ragt 3 m aus einer Wand. Die Dreieckslast ist an der Wand am größten, q0 = 6 kN/m, und fällt bis zum freien Ende auf null. Als Funktion: q(x) = 6 · (1 − x/3).
Die Tabelle liefert dasselbe: fallendes Dreieck, a/3 = 1 m. Läge die Spitze an der Wand, wären es 18 kNm.
Streckenlast-Rechner mit Skizze
Der Rechner bestimmt für eine Streckenlast als Rechteck, Dreieck oder Trapez die Resultierende und ihren Angriffspunkt. Mit Spannweite kommen die Lagerkräfte am Einfeldträger dazu. Startwerte: Aufgabe 3.
Last nach unten, x ab Festlager A. Spannweite 0 heißt: nur die Resultierende.
| Abstand ab Lastanfang | |
| Abstand zur Mitte der Last | |
| Lagerkraft Ay (nach oben positiv) | |
| Lagerkraft By (nach oben positiv) | |
| Probe ΣMB |
Ebene Statik, starrer Träger, Festlager A bei x = 0, Loslager B bei x = Spannweite. Lernhilfe, keine Bemessung. Eingaben bleiben im Browser.
Beim Umschalten der Form wandert der Pfeil R von der Mitte zur hohen Seite.
29 Statik-Aufgaben zum Mitrechnen
Dreieckslasten auf Kragarmen sind in Klausuren beliebt. Das Übungsheft „Statik verstehen“ rechnet 29 Aufgaben komplett vor, darunter mehrere mit Dreiecks- und Trapezlasten, jeweils mit Freischnitt und Probe. Dazu ein Excel-Rechner für Lagerkräfte. 9,99 Euro als PDF.
Typische Fehler bei der Streckenlast
Die Dreieckslast in die Mitte setzen
Die Resultierende einer Dreieckslast liegt bei zwei Dritteln vom spitzen Ende. In Aufgabe 2 macht das 2 kN pro Lager aus.
q mit R verwechseln
q hat kN/m, R hat kN. Ein Blick auf die Einheit fängt den Fehler ab.
Den Hebelarm vom Lastanfang statt vom Lager messen
Die Tabelle gibt die Lage ab Lastanfang. Für ΣM brauchen wir den Abstand zum Bezugspunkt, also Startpunkt plus Abstand im Lastbereich, wie in Aufgabe 4.
Merksatz
Eine Streckenlast ersetzen wir durch ihre Resultierende: Betrag gleich Fläche, Lage im Schwerpunkt der Fläche. Rechteck in der Mitte, Dreieck ein Drittel vom hohen Ende, Trapez als Rechteck plus Dreieck. Das gilt für die Lagerkräfte, nicht für Schnittgrößen mitten in der Last.
Heute Abend: Aufgabe 5 mit umgedrehtem Dreieck rechnen, Spitze an der Wand, und das Ergebnis von 18 kNm selbst herleiten. Danach im Rechner prüfen.
Selbsttest
Ab fünf von sieben richtigen Antworten sitzt das Thema.
Weiterlesen und Quellen
- Lagerreaktionen berechnen
- Schwerpunkt berechnen
- Moment berechnen
- Allgemeines ebenes Kräftesystem
- Teilgebiete der Technischen Mechanik
- Formelsammlung Statik mit Streckenlast als Fläche (goessner.net, PDF)
- Technische Mechanik (Wikipedia)
Quellen (geprüft am 10.11.2026): Formelsammlung Statik auf goessner.net, Abschnitt Kräftesystem (Streckenlast als Fläche, Resultierende durch den Flächenschwerpunkt, Trapezformel); Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1, Statik, Springer Vieweg, Kapitel Linienlasten. Alle Aufgaben sind eigene Beispiele, in Python nachgerechnet, Integrale numerisch geprüft. Lernhilfe, keine Bemessung.
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